选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，已知曲线
（
为参数），在以
为极点， 
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
，曲线
.
（1）求曲线
与
的交点
的直角坐标；
（2）设点
， 
分别为曲线
， 
上的动点，求
的最小值.
已知函数
.
（1）若
在定义域上为单调递减函数，求实数
的取值范围；
（2）是否存在实数
，使得
恒成立且
有唯一零点，若存在，求出满足
， 
的
的值；若不存在，请说明理由.
一张半径为4的圆形纸片的圆心为
， 
是圆内一个定点，且
， 
是圆上一个动点，把纸片折叠使得
与
重合，然后抹平纸片，折痕为
，设
与半径
的交点为
，当
在圆上运动时，则
点的轨迹为曲线
，以
所在直线
为轴， 
的中垂线为
轴建立平面直角坐标系，如图.
（1）求曲线
的方程；
（2）曲线
与
轴的交点为
， 
（
在
左侧），与
轴不重合的动直线
过点
且与
交于
、
两点（其中
在
轴上方），设直线
、
交于点
，求证：动点
恒在定直线
上，并求
的方程.
已知三棱台
中， 
, 
， 
，平面
平面
，
（1）求证： 
平面
；
（2）点
为
上一点，二面角
的大小为
，求
与平面
所成角的正弦值.
为了研究一种昆虫的产卵数
和温度
是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：
与模型②：
作为产卵数
和温度
的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
产卵数 | 6 | 10 | 21 | 24 | 64 | 113 | 322 |
| 400 | 484 | 576 | 676 | 784 | 900 | 1024 |
| 1.79 | 2.30 | 3.04 | 3.18 | 4.16 | 4.73 | 5.77 |
|
|
|
|
26 | 692 | 80 | 3.57 |
|
|
|
|
1157.54 | 0.43 | 0.32 | 0.00012 |
其中
， 
， 
， 
，
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 
， 
.
（1）在答题卡中分别画出
关于
的散点图、
关于
的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.
（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立
关于
的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为
时的产卵数.（
与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据： 
， 
， 
）
（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为
， 
，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
已知函数
.
（1）若
在
上的值域为
，求
的取值范围；
（2）若
在
上单调，且
，求
的值.
