Question

如图，正四棱柱 中， ，点在上，且 .

(1)证明平面；

(2)求二面角的余弦值．

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）可以以点 为原点建立空间直角坐标系，要证明（1）只需证明 ，平面的法向量为 ，求平面的法向量 ，求 .

试题解析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴， 为轴的正半轴， 为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意设，

因此

将向量分别与向量相乘，可知， ，所以， ，又，所以. ……………6分

设向量是平面的法向量，则， ，所以， ，令，则，所以，所以

因为等于二面角的平面角，所以二面角余弦值为.……………12分

【点睛】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．