Question

椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）直线方程为：或.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.

试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.

所以椭圆的方程为： （4分）

（2）①当直线的倾斜角为时，,

，不适合题意。 （6分）

②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，

代入得： （7分）

设，则,,

，

所以直线方程为：或 （12分）

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.