Question

已知函数，，

（1）若函数的两个极值点为，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数的图象过点的切线方程；

（3）对一切恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（1） （2）x+y-2=0 （3） a≥-2

【解析】函数的两个极值点处导数为0 ，g’(x)=3x2+2ax-1带入即可；

要求函数的图象过点的切线方程，先求函数在点处的导数即斜率，在用点斜式求出方程；恒成立求实数的取值范围时，一般分离参数，2a≥2lnx-3x-再在最值处成立即可。

【解析】
（1）g’(x)=3x2+2ax-1由题意：

（2）由（1）可得：g(x)=x3-x2-x+2（1o）若P为切点，则切线方程为：y=1

2 o若P不是切点，设切点Q（x0，y0）∴切线方程为y-y0=(3x02-2x0-1)(x-x0)

1-(x03-x02-x0+2)=(3x02-2x0-1)(1-x0) 2x0(x0-1)2=0 ∴x0=0 ∴切点（0，2）

∴切线方程：x+y-2=0

（3）2xlnx≤3x2+2ax-1+2 ∴2ax≥2xlnx-3x2-1 ∵x>0 ∴2a≥2lnx-3x-

令ln(x)=2lnx-3x-

x（0，1）1（1，+∞）

h’(x)+0-

h(x)↑极大值↓

∴h(x) ≤h(1)=-4 ∴2a≥-4 a≥-2