Question

如下图，已知椭圆的上顶点为，左、右顶点为，右焦点为， ，且的周长为14.

（I）求椭圆的离心率；

（II）过点的直线与椭圆相交于不同两点，点N在线段上．设，试判断点是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件计算得的值，进而可求离心率；

（Ⅱ）设l的方程为，与椭圆联立得， ，根据条件，化简得，带入条件可得，由即可求得的范围.

试题解析：

（I）由，得，

的周长为，即，得，

所以，椭圆的离心率为；

（II）显然直线l的斜率存在，设l的方程为，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，

由，得，化简得①，-----6分

由消去x，得，

得， ，

代入①式得，由得，

，

因为，得，所以，

因此，N在一条直线上，实数．

【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为，不妨设，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， ，

由，得，化简得①，6分

由， ，得②，

由消去x，得，

可知 ，

得， ， ，

代入①式得，由得，

由②式得 ，得，

因此，N在一条直线上，实数．

法三：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， ，由，

得

所以,将， 代入椭圆方程得

上面两式相减化简得

，

因为，得，所以，

因此，N在一条直线上，实数．

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．