Question

已知函数（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是.

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设（其中为的导函数）。证明：对任意，

Answer

（1）;（2）单调递增区间是，单调递减区间是;（3）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设导数的几何意义建立方程分析求解；（2）依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（3）先将不等式进行等价转化，再借助导数分析推证：

（1）由得.由已知得，解得.又，即， .

（2）由（1）得，令，

当时， ；当时， ，又当时， ；

当时， ， 的单调递增区间是， 的单调递减区间是

（3）由已知有，于是对任意等价于，由（2）知， ，易得，当时， ，即单调递增；当时， ，即单调递减. 的最大值为，故.设则，因此，当， 单调递增， ，故当时， ，即..对任意

点睛：导数是研究函数的单调性、几何意义以极值（最值）等方面的综合运用的重要工具。解答本题的第一问时先依据导数的几何意义，建立方程，通过解方程使得问题获解；解答第二问时，通过对函数求导借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调区间使得问题获解；解答第三问时，充分借助题设中的条件，先将不等式进行等价转化，再借助导数知识分析推证，从而使得问题获解。