Question

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱底面，且， 为中点，点在上，且平面，连接， ．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅲ）已知， ，求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）．

【解析】试题分析：

(1)利用线面垂直的判断定理证明 垂直于平面 内的两条相交直线即可；

(2)利用空间几何体的结构特征判断命题是否成立即可；

(3)利用题意建立空间直角坐标系，求得法向量，最后利用 求解角度值即可求得余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）因为面， 面，所以．

因为四边形为矩形，所以．

，所以面．

面， ，

在中， ， 为中点，所以．

，

所以面．

（Ⅱ）四面体是鳖臑，其中， ．

（Ⅲ）以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系． ， ， ， ， ．

设，则．

得解得．所以．

设平面的法向量，

令得， ．

平面的法向量，

平面的法向量，

， ．

二面角的余弦值为．