Question

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时， ；

（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）1．

【解析】试题分析：

(1)对函数求导，利用导数研究函数的切线方程即可；

(2)令 ，问题转化为证明 ,证得 即可.

(3)令 ，讨论函数 的性质结合恒成立的性质即可求得最终结果.

试题解析：

（Ⅰ）， ，

又，所以切线方程为；

（Ⅱ）由题意知，令 ．

令，解得．

易知当时， ，易知当时， ．

即在单调递减，在单调递增

所以，

即，即．

（Ⅲ）设，依题意，对于任意， 恒成立．

，

时， ， 在上单调递增，

当时， ，满足题意．

时，随变化， ， 的变化情况如下表：

—

0

+

↘

极小值

↗

在上单调递减，所以

即当时，总存在，不合题意．

综上所述，实数的最大值为1．

点睛：

(1)准确求切线 的方程是本题求解的关键；第(2)问构造新函数，将不等式的问题进行转换，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．

第(3)问若可导函数 在指定的区间 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 (或 )恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．