Question

如图，在中， 为直角， ．沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）是棱的中点，过做平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，借助线面垂直的判定定理分析推证；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解；（3）先确定截面的位置，再分析探求截面的面积：

（Ⅰ）证明：因为，且，

所以，同时，

又，所以面．

又因为，所以平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 平面，又平面，

所以，

又因为，所以．

又因为，所以平面．

所以， ．

依题意， ．

所以， ．

（Ⅲ）分别取的中点，并连接，

因为平面平面，所以平面与平面的交线平行于，因为是中点，所以平面与平面的交线是的中位线．同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面．

即： ．

由（Ⅰ）可知： 平面，所以，

又∵， ∴．

∴四边形是直角梯形．

在中， ∴．

， ， ．

∴．

点睛：立体几何是高中数学中的重要知识内容之一，也是高考重点考查的考点之一，在问题的设置上通常设置为考查和检测线面的位置关系和角度距离的计算问题。求解本题的第一问时，直接运用线面垂直的判定定理进行分析推证；解答第二问时，先确定三棱锥的高与底面，运用体积公式求解；第三问的设置是探求截面的位置及形状，然后求其面积，使得问题获解。