Question

已知函数．

（Ⅰ）过原点作曲线的切线，求切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论曲线与曲线公共点的个数．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，有0个公共点；当时，有1个公共点；当时，有2个公共点．

【解析】【试题分析】（1）依据题设借助导数的几何意义分析求解；（2）先将零点的个数化为方程根的个数，再将方程问题转化为函数的图像问题，最后通过构造函数，运用导数的知识分析求【解析】

（Ⅰ）由题意，设切点为，由题意可得

，即，解得，即切点．

所以，所以切线方程为．

（Ⅱ）当， 时，曲线与曲线的公共点个数

即方程根的个数．

由得．

令，则，令，解得．

随变化时， ， 的变化情况如下表：

2

—

0

+

↘

极小值

↗

其中．所以为在的最小值．

所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：

当时，有0个公共点；当时，有1个公共点；当时，有2个公共点．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置两个问题，旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，依据题设借助导数的几何意义建立方程求出切点坐标，进而求得切线方程；解答第二问时，依据题设条件先将零点的个数问题等价转化为方程根的个数，再将方程的根的个数问题转化为函数的图像交点问题，最后通过构造函数，运用导数的知识使得问题简捷获解。