Question

已知是球的球面上三点，且， 为该球面上的动点，球心到平面的距离为球半径的一半，则三棱锥体积的最大值为__________．

Answer

【解析】由题设可知的外接圆的半径，由余弦定理可得，故，则由正弦定理可得的外接圆的半径，所以，而，所以当点到平面的最大距离，所以三棱锥的最大体积为，应填答案。

点睛：几何体的外接球的体积面积问题一直是高中数学习题中的难点之一，解答这类问题的关键是借助球心距、截面圆的半径、球的半径之间的关系，建立方程（组）然后通过解方程组求出球的半径。本题的求解则借助题设建立方程求出球的半径，从而使得问题获解。