Question

如图所示，已知长方体中， ， 为的中点，将沿折起，使得.

（1）求证：平面平面；

（2）是否存在满足的点，使得二面角为大小为？若存在，求出相应的实数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）借助题设构建空间向量，运用向量的数量积公式分析探求：

（1）证明：∵长方形中， ， 为的中点，

∴， ，∴，

∵， ，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）【解析】
以点为坐标原点， 方向为轴正方向建立如图空间直角坐标系，

则， ，

，

设平面的一个法向量为，

由，

取，得，所以，

由（1）知平面的一个法向量，

所以，解得或（舍去），

故存在为所求.

点睛：立体几何是高中数学中重要的知识和内容之一，也是高考重点考查的重要考点与知识点。解答本题的第一问时，充分借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理进行分析推证，使得问题获证；解答第二问时，则通过建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析探求，从而使得问题获解。