Question

如图，在几何体中，四边形是菱形， 平面, ,且.

（1）证明：平面平面.

（2）若，求几何体的体积.

Answer

（1）见解析;（2）∴.

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理证明即可；

(2)假设 ，在 中利用余弦定理即可求得边长 的值，然后利用几何体的结构特征求解其体积即可.

试题解析：

（1）证明：∵四边形是菱形，∴

∵平面∴

∴平面

∴平面⊥平面

（2）设与的交点为， ，

由（1）得平面，

∵平面∴，

∵，∴，

∴，∴

∴，

∵，∴

∴，

∴，∴

∴.

点睛：第一问证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．第二问求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．