Question

已知直线与椭圆相交于两点，与轴， 轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点， 的延长线交椭圆于点，过点分别做轴的垂线，垂足分别为.

（1） 若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；

（2）当时，若点平分线段，求椭圆的离心率.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：

(1)结合题意利用待定系数法列出关于 的方程组，求解方程组即可得到椭圆 的标准方程；

(2)结合(1)中的结论联立直线与椭圆的方程，结合题意得到 的值，利用点平分线段 ,然后结合根与系数的关系得到关于 的齐次方程 ，据此得到结论 ，然后求解椭圆的离心率即可，注意检验结果的合理性.

试题解析：

（1）由题意得

∴

∴所以椭圆的方程为；

（2）当时，由得，

∵,

∴,

∴直线的方程为，

设，由 得

∴，∴

设，由 得

∴，∴，

∵点平分线段，∴，

∴，∴，

∴，代入椭圆方程得，符合题意，

∵，∴.