Question

已知函数在处的切线经过点

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）在单调递减；（2）.

【解析】试题分析：

(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.

(2)分离系数后讨论 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数 满足 ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为 .

试题解析：

（1）由题意得

∴，

∴在处的切线方程为

即，

∵点在该切线上，∴，

∴

函数在单调递减；

（2）由题意知且，

原不等式等价于，

设，

由（1）得在单调递减，且，

当时， ；当时， ；

∴，

假设存在正数，使得，

若，当时， ；

若，当时， ；

∴不存在这样的正数，使得，∴的值域为

∴的取值范围为.

点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．