Question

已知城和城相距，现计划以为直径的半圆上选择一点（不与点， 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为.当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.

（1）将表示成的函数.

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）.

（2）点到城的距离为时，函数有最小值.

【解析】（1）由点是在以为直径的半圆上，则易知，由勾股定理可得， ，再根据题意建立函数模型，求出系数,从而问题可得解；（2）由（1）可得，利用函数导数来研究该的单调性，并求出其最小值，从而问题可得解.

试题解析：（1）由题意知， ， ，

则，

所以 .

因为当时， ，

代入表达式解得，

所以 .

（2）因为，

所以 .

令，得，

所以，即.

当时， ，所以函数为减函数；

当时， ，所以函数为增函数.

所以当，即点到城的距离为 时，函数 有最小值.