Question

已知数列的前项和为，通项公式为，且.

（1）计算的值；

（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

Answer

（1）见解析;（2）见解析.

【解析】（1）根据题意，由通项公式、前项和定义以及函数的解析式进行运算即可；（2）由（1）不难发现， ，而，由此可作假设当，再根据题意，利用数学归纳法进行证明即可.

试题解析：（1），

，

.

（2）由（1）知， .

下面用数学归纳法证明：当时， .

（i）由（1）知当时， .

（ii）假设当时， ，即，

那么

.

．

所以当时， 也成立.

因此，当时， .

综上，当和时， ；当时， .

点睛：此题意主要考查了通项公式、前项和定义、分段函数，以及数学归纳法的运用等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型.在使用数学归纳法的过程中要注意几点：1.步骤（1）是步骤（2）的基石；2.步骤（2）是步骤（1）的递推依据；3.要注意步骤（1）的完整性；4.在步骤（2）中假设时命题成立，进而需求证时命题成立；5.由到的证明中要注意与的差异与联系；6.步骤（2）中的归纳假设必须应用，虽然有些题目证明过程中可以不应用归纳假设就可以得到证明，但是，这不符合数学归纳法的要求.