Question

已知在四棱柱，侧棱底面， ， ，且， ， ，侧棱.

（1）若为上一点，试确定点的位置，使平面；

（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer

（1）当时， 平面.（2）

【解析】试题分析：（1）以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设点E的坐标，由，设，可求点E的坐标，进而确定点E的位置； （2）由图求平面的一个法向量，再求平面的一个法向量，利用公式求二面角的余弦值.

试题解析：（1）当时， 平面.

如图，以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，连接，则， ， ， ， .

设，则， ， .

平面， 不妨设，

.

，解得.

所以当点的坐标为， 时，

平面.

（2）连接， ， 平面，

向量为平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，而，

,

，解得.

.

所以二面角的余弦值为.