Question

已知函数， .

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）令，是否存在实数，当（是自然对数的底数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2），理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意得在上恒成立，令 ；

（2）假设存在实数，使有最小值， ，再分、、三种情况讨论得：存在实数，使得当时有最小值.

试题解析：（1）在上恒成立，

令，有得，得. 5分

（2）假设存在实数，使有最小值3，

①当时， 在上单调递减， ， （舍去），

②当时， 在上单调递减，在上单调递增

∴， ，满足条件.

③当时， 在上单调递减， ， （舍去），

综上，存在实数，使得当时有最小值. 7分

考点：1、函数的单调性性；2、函数的极值与最值.