Question

在中， 为中点， .

（1）当时，求的长；

（2）当时，求周长的最大值；

（3）当时，求的面积.

Answer

（1）;（2）;（3） .

【解析】试题分析：（1）利用结合余弦定理建立方程，可求解出的长.（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，故，将周长表示为角的正弦和余弦的形式，利用辅助角公式合二为一后可求得其最大值为.（3）延长到，使，由于对角线相互平分的四边形是平行四边形，利用正弦定理可求出的长，代入三角形面积公式，可求得三角形面积.

试题解析：

（1）

设，

∴

∴

（2）时，则

∴周长

∴最大值当且仅当成立

（3）

延长 使

∴为平行四边形

∴

∴

∴

点睛：本题主要考查解三角形，考查正弦定理的应用，考查在不同已知条件下解方程组的方法. 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．要学会熟练运用几何性质.