Question

各项均为正数的数列的前项和为，且满足.

各项均为正数的等比数列满足.

（1）求数列的通项公式的通项公式；

（2）若，数列的前项和.

①求；

②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）， ；（2）①；②.

【解析】试题分析：（1）利用，化简后可得为等差数列，由此求得数列的通项公式，求得后，利用等比数列通项公式，可求得的通项公式.（2）①由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前项和. ②利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得的取值范围.

试题解析：

（1）

∴

∴又各项为正

∴

∴开始成等差

又

∴

∴为公差为的等差数列

∴

∴

（2）

①

∴

②恒成立

∴

即恒成立

设

当时，

时，

∴

∴.

点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略.由于和的关系式题目给定，故利用可求得的通项公式.求出的通项公式后通过观察可发现的通项是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求.