Question

已知函数．

（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数有两个极值点、，且，求证： ．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用导数知识分析求解；（2）借助题设条件将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析推证：

（Ⅰ）在恒成立，即在恒成立，

， ，∴．

（Ⅱ）， ， ．

函数有两个极值点即方程的两个正根，得 ．

．

是方程的根，∴， ，

∴．

∵，∴代入上式得．

令， ，

， 在上单调递增．

， ，

∴，证毕．

点睛：本题以含参数的函数解析表达式为背景与前提，精心设置了两个问题，旨在考查导数工具在研究解决函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，依据题设运用导数与函数的单调性之间的关系进行分析求解，从而使得问题获解；解答第二问时，先将问题进行等价转化与化归，然后再构造函数，运用导数知识进行分析推证，最终使得问题巧妙获证，体现了等价转化与化归的数学思想在解决问题的妙用。