Question

已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当，时，证明：（其中为自然对数的底数）.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）当 时， ，分类讨论：（1） ；（2），可得单调区间；（2）当 时，要 证

转化为证 ，设，判断其单调性，得 ，此题得证。

（1）当时，

讨论：1’当时， ， ，

此时函数的单调递减区间为，无单调递增区间

2’当时，令 或

①当，即时，此时

此时函数单调递增区间为，无单调递减区间

②当，即时，此时在和上函数，

在上函数，此时函数单调递增区间为和；

单调递减区间为

③当，即时，此时函数单调递增区间为和；

单调递减区间为

（2）证明：当时

只需证明： 设

问题转化为证明，

令， ，

为上的增函数，且，

存在唯一的，使得，

在上递减，在上递增

不等式得证

点睛：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类做到分类标准明确，不重不漏．