Question

已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆与另一点.

①证明：当直线与直线的斜率， 均存在时， 为定值；

②求面积的最小值.

Answer

（1）;（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组进行分析求解；（2）先建立直线的方程后与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系分析探求：

（1）设椭圆的焦距为，由题意可得： 解得， ， ，

故椭圆方程为： .

（2）①由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程： ，因为点在直线上，

所以，联立直线与椭圆方程：

由可得，

又直线与椭圆有且只有一个公共点，故，即.

由韦达定理，可得点坐标.

因为直线过椭圆右焦点为，所以直线的斜率；

而直线的斜率， 所以：

.

②因为， ，所以，即；

所以三角形的面积；

，由直线的斜率为，可得直线的方程： ，与椭圆方程联立可得：

.

所以，令，则，单调递增，

故当且仅当时成立.

点睛：平面解析几何是高中数学中的重要内容和知识点，也是高考重点考查的重要内容内容和考点。这类问题的设置旨在考查运用代数的方法建立直线与圆锥曲线出方程，依据直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识与方法的综合运用，以及运算求解能力、分析推断能力等基本数学能力的运用。解答本题的第一问时，依据题设建立方程组，通过解方程组，使得问题获解；解答本题的第二问时，先建立直线的方程再借助直线与椭圆的位置关系进行分析探求，从而使得问题获解。