Question

已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点， ，若，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】（Ⅰ）求椭圆标准方程，只要求出参数，由于有，因此要列出关于的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得点的坐标，从而可得，要求范围只要求得的范围，为此可直线分类，对斜率不存在时，求得，而当直线斜率存在时，可设出直线方程为，同时设，则，由韦达定理可把表示为的函数，注意直线与椭圆相交，判别式＞0，确定的范围，从而可得的范围，最后可得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由题意，得，则椭圆为： ，

由，得 ，

直线与椭圆有且仅有一个交点，

，

椭圆的方程为 ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 直线与轴交于 ,

,

当直线与轴垂直时， ,

由 ,

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，

由 ，

依题意得， ，且 ，

，

，

，

综上所述， 的取值范围是 .