已知函数（为自然对数的底数），是的导函数. （Ⅰ）当时，求证；（Ⅱ）是否存在正...

已知函数（为自然对数的底数），是的导函数.

（Ⅰ）当时，求证；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

（1）详见解析；（2）存在且为. 【解析】（Ⅰ）要证明函数不等式（），注意到，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式为，注意到特殊情形，时，不等式为，因此的值只有为1或2，因此只要证时，不等式恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为，因此只要研究函数的单调性，求得最小值即可. 试题解析：（Ⅰ）当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，在上为增函数，，（Ⅱ），由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1,2. 下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由（Ⅰ），，当时，；当时，，即在上是减函数，在上是增函数， , 当时，不等式恒成立所以的最大值是2. 【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决．

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考点分析：

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