Question

对于三次函数（），定义：设f″（x）是函数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（  ）

A、2010   B、2011     C、2012   D、2013

Answer

A

【解析】

试题分析：因为函数 =，

所以令h（x）=，m（x）=，则g（x）=h（x）+m（x）．

 则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=，故h（x）的对称中心为（，1）．

设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．

所以

==1005×2=2010．

由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．

∴

==1005×0=0．

所以= +

=2010+0=2010，故答案为2010．

考点：本题主要考查函数的概念，函数图象的对称性，导数的计算。

点评：难题，运用化归与转化的数学思想方法，将函数g(x)的研究进行拆分，简化了解题过程。解答此类题目，心理素质首先要过关，不畏难，静心思考。