Question

已知函数， （为常数）．

（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；

（2）若，且，证明： ；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，因此先求导，再代入得： ， ，可得结果；（2）构造差函数，证明不等式转化为求其最小值小于零，利用导数求其最大值： ， ，所以， ；（3）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解.

试题解析：（1），则且．

所以函数在处的切线方程为： ，从而，即．

（2）由题意知：设函数，则．

设，从而对任意恒成立，

所以，即，因此函数在上单调递减，于是，所以当时， 成立．

（3）设，从而对任意，不等式恒成立．

当时， 恒成立，此时函数单调递增． 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意。

2）当，即恒成立时， 单调递减．

设，则， ，即，符合题意。

3）当时，设，则

当时， ， 单调递增，

所以，故当时，函数单调递增．

于是当时， 成立，不符合题意。

综上所述，实数的取值范围为．