Question

如图，在所有棱长均为2的三棱柱中， 、分别是BC和的中点.

（1）求证： ∥平面；

（2）若平面ABC⊥平面， ，求三棱锥的体积.

Answer

（1）详见解析（2）1

【解析】【试题分析】（１）依据题设条件运用线面平行的判定定理推证；（２）借助题设条件求出三棱锥的底面面积与高，再运用三棱锥的体积公式求【解析】

（1） 证明：连结AD，由于、分别是BC和的中点，所以∥，且，故四边形是平行四边形，所以∥,

又因为平面， 平面，

所以∥平面

（2）由于所有棱长均为2，所以是等边三角形，

因为平面ABC⊥平面，平面ABC平面，

而 ，所以是等边三角形，故

于是，即是三棱锥的高，且，

故三棱锥的体积.

点睛：立体几何是高中数学中的重要知识点之一，也是高考重点考查的内容和考点之一。这类问题的设置一般有两类问题题：其一是线面的位置关系的推证；其二是角度距离以及几何体的体积面积的计算。求解线面的位置关系的问题时，要充分依据题设条件，运用线面位置关系的判定定理进行推证；求解角度、距离及体积面积的计算时，要正确使用公式与工具，从而使得问题获解。