Question

已知椭圆， 是坐标原点， 分别为其左右焦点， , 是椭圆上一点， 的最大值为

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且

     （i）求证： 为定值;

     （ii）求面积的取值范围.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由椭圆对称性可得M为短轴端点B时取最大值，因此根据直角三角形可得，（2）（i）解几中证明题一般方法为以算代证，先由直线方程与椭圆方程联立，解出坐标（用直线斜率表示），代入可得定值，最后验证斜率不存在的情况也满足（ii）因为，所以面积为,再将（i）坐标（用直线斜率表示）代入，得关于直线斜率的一元函数关系，利用基本不等式求最值，确定函数取值范围.

试题解析：（1）由题意得，得椭圆方程为：

（2）

i)当斜率都存在且不为0时，设，

由消得，

同理得，

故

当斜率一个为0，一个不存在时，得

综上得，得证。

ii) 当斜率都存在且不为0时，

又

所以

当斜率一个为0，一个不存在时,

综上得

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.