Question

已知函数.

（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;

（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得，即得不等式，（2）利用（1）结论可得函数的导数在区间内单调递增，根据零点存在定理可得有一唯一零点且．从而可得在处取最小值，利用化简，得．最后再利用导数研究函数单调性，即得函数的值域.

试题解析：（1）由得

故在上单调递增，

当时，由上知，

即，即，得证.

（2）对求导，得， ．

记， ．

由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增，

又， ，所以存在唯一正实数，使得．

于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；

当时， ， ，函数在区间内单调递增．

所以在内有最小值，

由题设即．

又因为．所以．

根据（Ⅰ）知， 在内单调递增， ，所以．

令，则，函数在区间内单调递增，

所以，

即函数的值域为．