Question

在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ， 为的中点， 在线段上，且．

（Ⅰ）当时，证明：平面平面；

（Ⅱ）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中， ， 分别是， 的中点，结合中位线及平行的传递性可得，故可得平面，由线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得： ，由棱锥的体积公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，

，在中， ， ， ，由余弦定理得．

所以，从而有.

在中， ， 分别是， 的中点，

则， ，

因为，所以.

由平面， 平面，

得，又， ，

得平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， .

平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

由， ，得令，得.

由题意可得， ，

解得，

所以四棱锥的体积.