Question

已知的顶点，点在轴上移动， ，且的中点在轴上.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知轨迹上的不同两点， 与的连线的斜率之和为2，求证：直线过定点．

Answer

（Ⅰ）（）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设（），将题意与两点间距离公式相结合可得结论；（Ⅱ）设直线的方程为， ， ，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得，由两点间斜率计算公式及斜率之和为2可得，故可得的值，即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）设（），因为在轴上且中点在轴上，所以，由，得，

化简得，所以点的轨迹的方程为（）．

（Ⅱ）设直线的方程为， ， ，

由得，

所以，

，同理，

所以，化简得，

又因为，所以，

所以直线过定点.

点睛：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用；在该题中利用直译法求的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，联立直线与抛物线的方程构成方程组，结合韦达定理及整体代换思想代入，可得，即的值.