Question

如图，已知菱形与直角梯形所在的平面互相垂直，其中 ， ， ， ， 为的中点.

（Ⅰ）求证： ∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设为线段上一点， ， 若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，考虑到是中点，因此取中点，可得与平行且相等，从而可证得，所以可证得线面平行；

（Ⅱ）求二面角，可建立空间直角坐标系，用向量法求解，考虑到平面与平面垂直， 是菱形，因此取中点，则有，因此，所以可作，以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角可得二面角；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的坐标系，利用已知得点坐标，从而可得向量的坐标，利用向量与平面的法向量夹角的正弦值可求得，最后可得的长度.

试题解析：

（Ⅰ）取的中点，连接，则∥∥ ,且，所以四边形为平行四边形

所以∥，又平面， 平面，

则∥平面.

（Ⅱ）取 中点，连接，则 因为平面 平面，交线为，则平面

作∥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则

于是 ，设平面的法向量 ，

则 令，则

平面的法向量

所以

又因为二面角为锐角，所以其余弦值为.

（Ⅲ）则 ，

，而平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，

于是

于是, .