Question

已知等比数列的公比，且， ．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设， 是数列的前n项和，对任意正整数不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；

（Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）设数列的公比为，则，

∴

∵，∴，∴数列的通项公式为．

（Ⅱ）【解析】

∴

∴

∴=

∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．

为奇数时， 的最小值为，∴得，

为偶数时， 的最小值为，∴，

综上， ，即实数的取值范围是．