Question

设函数， = .

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数有两个零点.

(1)求满足条件的最小正整数的值；

(2)求证： .

Answer

（Ⅰ）的单调增区间为，单调减区间为；

（Ⅱ）（1）3；（2）见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求单调区间，只要求得导数，通过讨论的范围（和）可解不等式和不等式，从而得单调区间；

（Ⅱ）(1)求得，由有两个零点得， 的最小值为，且， 由此可得，由函数是增函数，通过估值可得最小正整数的值；（2）证明，设，由，可把用表示，不等式中的可替换，然后变形为的不等式，设，则，只要证相应地关于的不等式在上成立，这又可用导数研究相应的函数得出．

试题解析：

（Ⅰ）．

当时， 在上恒成立，所以函数单调递增区间为，

此时 无单调减区间．

当时，由，得， ，得，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）（1）．

因为函数有两个零点，所以，此时函数在单调递增， 在单调递减.

所以的最小值，即.

因为，所以.

令，显然在上为增函数，且

，所以存在.

当时， ；当时， ，所以满足条件的最小正整数.

又当时， ，所以时， 有两个零点．

综上所述，满足条件的最小正整数的值为3.

（2）证明 ：不妨设，于是

即，

．

所以.

因为，当时， ，当时， ，

故只要证＞即可，即证明，

即证，

也就是证.

设．

令，则.

因为，所以，

当且仅当时， ，

所以在上是增函数．

又，所以当总成立,所以原题得证．

点睛：函数（含有参数）有两个零点，证明不等式的基本方法是：第一步，由，把用表示，这样不等式就转化为不含参数的不等式；

第二步，不等式再变形为关于的不等式，然后换元，设， ，上述不等式转化为关于的不等式；

第三步，用导数研究函数的单调性、最值，完成证明．