Question

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）.已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人.

（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；

（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望.

Answer

（1）；3（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示概率，概率和为1，则可求得。因为甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人，根据公式可求得甲班学生总数，再根据可得甲班学生每天平均学习时间在区间的人数。（2）乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生仍用公式可求得为4人。的可能取值为0、1、2、3.根据古典概型概率公式可得各取值时的概率，从而可得其分布列，再根据期望公式可求其期望值。

【解析】
⑴ 由直方图知， ，解得，

因为甲班学习时间在区间的有8人，

所以甲班的学生人数为，

所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间的人数为（人）．

⑵ 乙班学习时间在区间的人数为（人）．

由⑴知甲班学习时间在区间的人数为3人，

在两班中学习时间大于10小时的同学共7人， 的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以随机变量的分布列为：

．

考点：1频率分布直方图；2古典概型概率公式；3分布列及期望。