Question

已知椭圆： 的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，斜率为的直线交椭圆于， 两点，点在椭圆上， ，直线交轴于点.

（Ⅰ）当点为椭圆的上顶点， 的面积为时，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）当， 时，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ） ； （Ⅱ）．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意，求出斜率，由垂直得到的斜率，即得直线方程，从而得点坐标，因此可把面积用表示出来，从而求得离心率；

（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标，得的长，把其中的用代替，可得的长，由得，最后利用可求得的范围．

试题解析：

（Ⅰ）直线 的方程为

直线 的方程为，令，

于是 ，

（Ⅱ）直线的方程为，

联立并整理得，

解得或，

因为

，整理得， ．

因为椭圆的焦点在轴，所以，即，

整理得，解得．