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如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, , . (Ⅰ)求证:...

如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, , .

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)设是棱上的点,当平面时,求二面角的余弦值.

 

(Ⅰ)见解析; (Ⅱ). 【解析】试题分析:(Ⅰ)要证平面平面,只需证平面即可. (Ⅱ)分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图,求平面的一个法向量和平面的一个法向量求解即可. 试题解析: (Ⅰ)取的中点,连接, , 因为是边长为2的正三角形,所以, ,① 又,所以,且, 于是,从而,② 由①②得平面,而平面,所以平面平面. (Ⅱ)连结,设,则为的中点,连结,当平面时, ,所以是的中点. 由(Ⅰ)知, 、、两两垂直,分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图,则、、、, 由、坐标得,从而, , 设是平面的一个法向量,则由得, 取,得,易知平面的一个法向量是, 所以 , 由图可知,二面角的平面角为钝角,故所求余弦值为. 点睛:利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.  
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考点分析:
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某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:

质量指标值

等级

三等品

二等品

一等品

 

从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:

(Ⅰ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定?

(Ⅱ)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;

(Ⅲ)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后在抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?

 

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已知中, .

(Ⅰ)求边的长;

(Ⅱ)设边上一点,且的面积为,求的正弦值.

 

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已知各项都为整数的数列中, ,且对任意的,满足 ,则__________

 

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已知 ,若向量满足,则的取值范围是__________

 

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,则__________

 

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试题属性

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