Question

已知椭圆： （）的离心率为， 、分别是它的左、右焦点，且存在直线，使、关于的对称点恰好是圆： （， ）的一条直径的四个端点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与抛物线（）相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的焦距等于圆的直径，所以，根据离心率求出；

（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得： ，点在以线段为直径的圆内 韦达定理代入求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）将圆的方程配方得： ，所以其圆心为，半径为2.

由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，

又，所以，从而，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得： ，由其判别式得，①

设， ，则， .

从而 ， .

因为的坐标为，所以， .

注意到与同向， 与同向，所以

点在以线段为直径的圆内

，②

当且仅当 即时，总存在，使②成立.

又当时，由韦达定理知方程 的两根均为正数，故使②成立的，从而满足①.

故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内.