已知函数，其中（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）讨论函数极值点...

已知函数，其中

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（Ⅲ）若，恒成立，求的取值范围.

（1）；（2）当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点;（3）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，利用导数的几何意义可得切线的斜率，结合切线与直线垂直，可求得的值；（Ⅱ）根据，令．对与分类讨论可得：（1）当时，此时，即可得出函数的单调性与极值的情况；（2）当时，，①当时，，②当时，，即可得出函数的单调性与极值的情况；（3）当时，，即可得出函数的单调性与极值的情况；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：（1）当时，可得函数在上单调性，即可判断出；（2）当时，由，可得，函数在上单调性，即可判断出；（3）当时，设，研究其单调性，即可判断. 试题解析：（Ⅰ）因为，由在处的切线与直线垂直，可知，所以；（Ⅱ）由题意知，函数的定义域为，，令， . （i）当时，，此时，函数在单调递增，无极值点；（ii）当时，方程的判别式. ①当时，，，，函数在单调递增，无极值点； ②当时，，设方程的两根为，，因为，的对称轴方程为，所以，，由，可得 . 所以当时，，，函数单调递增；当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增.因此函数有两个极值点. （iii）当时，，由，可得，当时，，，函数单调递增；当时，， ,函数单调递减，所以函数有一个极值点. 综上所述，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点. （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ①当时，函数在单调递增，因为，所以时，，符合题意； ②当时，，得，函数在上单调递增，又，所以时，，符合题意； ③当时，设，因为时，所以，所以在上单调递增，所以，即，可得，而当时，，即此时，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 点睛：本题考查了导数的集合意义、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题；涉及到切线的斜率即利用导数的几何意义函数在某点处的导数即在该点出切线的斜率，对于极值问题最后转化为含有参数的二次函数根的分布问题，主要是对二次项系数与进行分类讨论，函数的导数与不等式恒成立问题主要转化为利用导数判断函数的单调性求其最值问题.

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考点分析：

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