Question

已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（    ）

A. 3    B. 1或3    C. 4或6    D. 3或4或6

Answer

B

【解析】由已知， ，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.

综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：

（1）当或时，有唯一实根；

（2）当时，有三个实根；

（3）当或时，有两个实根；

（4）当时，无实根.

令，则由，得，

当时，由，

符号情况（1），此时原方程有1个根，

由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；

当时，由，又，

符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，

由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，

综上得共1个或3个根.

综上所述， 的值为1或3.故选B.

点睛：此题主要考查函数单调性、最值等性质在求方程根的个数的问题中的应用，以及导数、数形结合法在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识和技能，属于高档题型，也是高频考点.方程的实根分布情况，常常与参数的取值范围结合在一起，解答这类问题，有时需要借助于导数从研究函数的单调性入手，使问题获得比较圆满的解决.