Question

已知分别为椭圆： 的左、右顶点， 为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为．

（1）求；

（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问： 的面积是否为定值？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】【试题分析】（１）借助点的坐标运用斜率公式分别求出斜率，然后再求其积；（２）先运用点斜式分别求出的方程，再运用三角形面积公式探究推证：

（Ⅰ）设，则；

（Ⅱ）由题知，直线，直线，设，

则，由，

同理可得，故有，

又，故， .

点睛：椭圆是重要的圆锥曲线之一，也是高考重点考查的知识与内容之一。解答本题的第一问时，充分依据题设条件，借助点的坐标在椭圆上，运用斜率公式分别求出斜率，然后再求出其积；解答第二问时，先运用点斜式分别求出的方程，分别联立直线与椭圆的方程求交点的横坐标，然后再运用面积公式表示出三角形的面积，借助（1）的结论进行化简求解使得问题获解。