Question

已知曲线在点处的切线与直线平行， ．

（1）求的值；

（2）求证： ．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】【试题分析】（１）先求导数，再运用导数的几何意义建立方程求解；（２）先将不等式进行等价转化，再运用导数分别求不等式中的两边的函数的最值进行分析推证：

（Ⅰ），由题；

（Ⅱ）， ， ，

故在和上递减，在上递增，

①当时， ，而，故在上递增，

， 即；

②当时， ，令，则故

在上递增， 上递减， ， 即；

综上，对任意，均有.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数的几何意义、求导法则等基础知识，以及综合运用导数知识研究函数的单调性、极值（最值）等方面的运用。求解第一问时，先对函数解析式求导数，再运用导数的几何意义建立方程求出参数而获解；求证第二问时，先将不等式化为，再对不等式两边函数分别求导，分别求函数的最小值和最大值，然后进行比较，从而使得问题获证。