Question

已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）圆是以， 为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.

Answer

（1）;（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，再将点代入椭圆方程得，（2）先由直线与圆相切可得,再由，得，利用直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，代入化简可得的值.

试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，

因为点在椭圆上，∴，

所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线与圆相切，得，即,

设，

由消去，整理得，

由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，

所以，

，

所以，

因为，所以，

又因为，所以，解得.

点睛：研究直线与圆锥曲线位置关系的方法

研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，利用根与系数关系、设而不求法简化运算.