Question

已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）设函数，证明时， .

Answer

（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，又,解方程组可得.再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调区间，（2）先化简条件得，再等价转化不等式：要证，需证，即证，最后构造函数，其中，利用导数研究函数单调性： 在区间内单调递增，即得,从而结论得证.

试题解析：（1）由题得，函数的定义域为， ，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以解得.

令，得，

当时， ， 在区间内单调递减；

当时， ， 在区间内单调递增.

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要证，需证，即证，

设，则要证，等价于证： .

令，则，

∴在区间内单调递增， ,

即，故.