Question

已知数列， 是其前项和，且满足.

（1）求证:数列是等比数列；

（2）设，且为数列的前项和，求数列的前项和.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先根据当时， ，得数列项之间递推关系，再根据题意转化为，最后根据等比数列定义证明结论，（2）先根据等比数列通项公式求，得到，再根据等差数列求和公式得，最后根据裂项相消法求和.

试题解析：(l)∵，∴，

当时， ，即，

∴，

∴数列是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由（1)知， ，∴.

∴，

故数列的前项和.

点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.