Question

已知函数.

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件： ，最后解不等式可得实数的取值范围.

试题解析：（1）因为，

由或,由，

所以在上单调递增，在上单调递减，

欲使在上为单调函数，则.

（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，

故当或时，方程在上不可能有三个不等实根，

所以,且.

当,且时，方程在上有三个不等实根，

只需满足即可.

因为，且，

因而，

所以，即，

综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是.