Question

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且.

（1）求圆的方程；

（2）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）设圆的半径为，由可得，从而求圆的方程；（2）求出点，，讨论当轴时与与轴不垂直时是否相等，从而证明．

试题解析：（1）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.

∵，∴，解得.

∴圆的方程为.

（2）把代入方程，解得或，即点.

（i）当轴时，可知.

（ii）当与轴不垂直时，可设直线的方程为.

联立方程，消去得，

设直线交椭圆于两点，则

.

∴

∴.

考点：直线与圆的方程的应用.

【方法点晴】本题考查了圆的方程的求法及圆锥曲线与直线的交点问题，化简比较复杂，通过根与系数的关系简化运算，要细心，属于中档题．第一问中利用常见的弦长的一半，圆的半径以及圆心到弦的距离构成直角三角形，从而求得圆的方程；第二问中把角相等转化为两直线的斜率之和为,通过联立直线的方程与椭圆的方程，根据维达定理，利用整体代换得到结果.