Question

已知函数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若函数的图像与函数的图像在区间上有公共点，求实数的取值范围.

Answer

（1）极小值为，无极大值.（2）

【解析】试题分析：(Ⅰ)函数求导,令,求出根,分析其两侧导数的符号,确定函数的极值;(Ⅱ)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,转化为求函数在区间上的值域,根据(Ⅰ)分类讨论函数在区间是的单调性,确定函数的最值.

试题解析：

（1）函数的定义域为， ，令，得，

当时， ， 是减函数；

当时， ， 是增函数.

所以当时， 取得极小值，即极小值为，无极大值.

（2）①当，即时，由（1）知， 在上是减函数，在上增函数，当时， 取得最小值，即最小值，又当时， ，当时， ，当时， ，所以的图像与函数的图像在区间上有公共点，等价于，解得，又，所以.

②当，即时， 在上是减函数， 在上的最小值为，所以，原问题等价于，得，又，所以不存在这样的实数.综上知实数的取值范围是.

点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.